Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

En un centro educativo han preguntado a sus alumnos acerca de alergias alimentarias, resultando que un 10 % es celiaco y un 15 % es alérgico a la lactosa. Además el 20 % tiene alguna de las dos alergias. Si se elige un alumno al azar, calcule las siguientes probabilidades:

a) Que tenga solo una de las dos alergias. [1 punto]

b) Que sea celiaco si sabemos que no es alérgico a la lactosa. [1 punto]

Llamamos $C$ al suceso «el alumno es celiaco» y $L$ al suceso «el alumno es alérgico a la lactosa». Los datos del enunciado son:

$P(C)=\mathrm{0,10}P(L)=\mathrm{0,15}P(C\cup L)=\mathrm{0,20}$

De la fórmula de la probabilidad de la unión despejamos la de la intersección, que es la que hace falta en los dos apartados:

$P(C\cup L)=P(C)+P(L)-P(C\cap L)\Rightarrow \mathrm{0,20}=\mathrm{0,10}+\mathrm{0,15}-P(C\cap L)$

$P(C\cap L)=\mathrm{0,05}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{alergias.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tener solo una es tener alguna pero no las dos a la vez, así que a la unión le restamos la intersección.

$P\left(\text{solo una}\right)=P(C\cup L)-P(C\cap L)=\mathrm{0,20}-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,15}$

La probabilidad de que tenga solo una de las dos alergias es $\mathrm{0,15}$, es decir, un $15\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{celiaco}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{al}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rgico}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lactosa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que calculamos por su definición.

$P\left(\bar{L}\right)=1-P(L)=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$

$P(C\cap \bar{L})=P(C)-P(C\cap L)=\mathrm{0,10}-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,05}$

$P\left(C\mathrm{\mid }\bar{L}\right)={\displaystyle \frac{P(C\cap \bar{L})}{P\left(\bar{L}\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,85}}}={\displaystyle \frac{1}{17}}\approx \mathrm{0,0588}$

Sabiendo que no es alérgico a la lactosa, la probabilidad de que sea celiaco es $\frac{1}{17}\approx \mathrm{0,0588}$, es decir, un $\mathrm{5,88}\mathrm{\%}$.