Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Un mecánico compra ruedas a dos marcas A y B. Compra el 40 % a la marca A, que tiene un 3 % de ruedas defectuosas, y compra el resto a la marca B, con un 1 % de defectuosas. El mecánico tiene que cambiar una rueda y elige una al azar.

a) Calcule la probabilidad de que dicha rueda sea defectuosa. [1 punto]

b) Si la rueda es defectuosa, calcule la probabilidad de que sea de la marca A. [1 punto]

Llamamos $A$ y $B$ al suceso «la rueda es de esa marca» y $D$ al suceso «la rueda es defectuosa». Los datos del enunciado son:

$P(A)=\mathrm{0,4}P(B)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

$P(D\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,03}P(D\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,01}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{rueda}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Las dos marcas forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las ramas que acaban en $D$.

$P(D)=P(A)P(D\mathrm{\mid }A)+P(B)P(D\mathrm{\mid }B)$

$P(D)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{0,012}+\mathrm{0,006}=\mathrm{0,018}$

La probabilidad de que la rueda elegida sea defectuosa es $\mathrm{0,018}$, es decir, un $\mathrm{1,8}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{rueda}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, de modo que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(A\mathrm{\mid }D)={\displaystyle \frac{P(A)P(D\mathrm{\mid }A)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,012}}{\mathrm{0,018}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,6667}$

Sabiendo que la rueda es defectuosa, la probabilidad de que sea de la marca $A$ es $\frac{2}{3}\approx \mathrm{0,6667}$, es decir, un $\mathrm{66,67}\mathrm{\%}$. Es bastante mayor que el $40\mathrm{\%}$ de partida, porque esa marca tiene el triple de piezas defectuosas.