Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En un estudio a 1000 estudiantes europeos, 500 saben hablar inglés, 300 saben hablar español, y 100 de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:

a) Calcule la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla inglés. [1 punto]

Llamamos $I$ al suceso «el estudiante habla inglés» y $E$ al suceso «el estudiante habla español». Como todos los estudiantes son igual de probables, las probabilidades se obtienen dividiendo los cardinales entre el total.

$P(I)={\displaystyle \frac{500}{1000}}=\mathrm{0,5}P(E)={\displaystyle \frac{300}{1000}}=\mathrm{0,3}P(I\cap E)={\displaystyle \frac{100}{1000}}=\mathrm{0,1}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hable}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{idiomas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Hablar alguno de los dos es la unión de los dos sucesos, que no son incompatibles porque hay quien habla los dos.

$P(I\cup E)=P(I)+P(E)-P(I\cap E)=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,7}$

La probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas es $\mathrm{0,7}$, es decir, un $70\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hable}}\mathbf{\text{espa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{ol,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habla}}\mathbf{\text{ingl}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que calculamos por su definición.

$P(E\mathrm{\mid }I)={\displaystyle \frac{P(E\cap I)}{P(I)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,2}$

Sabiendo que habla inglés, la probabilidad de que hable también español es $\mathrm{0,2}$, es decir, un $20\mathrm{\%}$. Es el mismo resultado que se obtiene contando directamente: de los $500$ que hablan inglés, $100$ hablan además español.