Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Se realizaron dos debates electorales, uno el lunes y otro el martes. Se hizo una encuesta a 1.500 personas para estimar la audiencia, de las cuales: 1.100 personas vieron el debate del lunes, 1.000 vieron el debate del martes y 300 no vieron ninguno. Eligiendo al azar a uno de los encuestados:

a) Calcule la probabilidad de que viera los dos debates. [1 punto]

b) Si vio el debate del lunes, calcule la probabilidad de que viera el del martes. [1 punto]

Llamamos $L$ al suceso «el encuestado vio el debate del lunes» y $M$ al suceso «vio el del martes». Como todos los encuestados son igual de probables, las probabilidades se obtienen dividiendo entre el total de $1500$.

$P(L)={\displaystyle \frac{1100}{1500}}={\displaystyle \frac{11}{15}}P(M)={\displaystyle \frac{1000}{1500}}={\displaystyle \frac{2}{3}}P(\bar{L}\cap \bar{M})={\displaystyle \frac{300}{1500}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viera}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{debates.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

No ver ninguno es lo contrario de ver alguno, así que obtenemos primero la probabilidad de la unión y de ahí despejamos la de la intersección.

$P(L\cup M)=1-P(\bar{L}\cap \bar{M})=1-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

$P(L\cup M)=P(L)+P(M)-P(L\cap M)$

${\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{11}{15}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}-P(L\cap M)\Rightarrow {\displaystyle \frac{12}{15}}={\displaystyle \frac{11}{15}}+{\displaystyle \frac{10}{15}}-P(L\cap M)$

$P(L\cap M)={\displaystyle \frac{9}{15}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$



La probabilidad de que viera los dos debates es $\frac{3}{5}=\mathrm{0,6}$, es decir, un $60\mathrm{\%}$: $900$ de los $1500$ encuestados.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{vio}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{debate}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{lunes,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viera}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{martes.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que calculamos por su definición.

$P(M\mathrm{\mid }L)={\displaystyle \frac{P(M\cap L)}{P(L)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{5}}}{{\displaystyle \frac{11}{15}}}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{15}{11}}={\displaystyle \frac{9}{11}}\approx \mathrm{0,8182}$

Sabiendo que vio el debate del lunes, la probabilidad de que viera también el del martes es $\frac{9}{11}\approx \mathrm{0,8182}$, es decir, un $\mathrm{81,82}\mathrm{\%}$: de las $1100$ personas que vieron el primero, $900$ vieron el segundo.