Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

El 50 % de los alumnos de la UEX practica «running» y el 30 % monta en bicicleta. Además, se sabe que el 70 % de los alumnos de la UEX practica uno de los dos deportes. Si seleccionamos un alumno al azar, se pide:

a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes. [0,75 puntos]

b) Si practica el deporte de montar en bicicleta, ¿cuál es la probabilidad de que practique running? [0,75 puntos]

c) ¿Son independientes los sucesos «practicar running» y «practicar montar en bicicleta»? [0,5 puntos]

Llamamos $R$ al suceso «el alumno practica running» y $B$ al suceso «el alumno monta en bicicleta». El enunciado dice que el $70\mathrm{\%}$ practica uno de los dos deportes, es decir, alguno de ellos:

$P(R)=\mathrm{0,5}P(B)=\mathrm{0,3}P(R\cup B)=\mathrm{0,7}$

De la fórmula de la probabilidad de la unión despejamos la de la intersección, que hará falta en los apartados siguientes:

$\mathrm{0,7}=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}-P(R\cap B)\Rightarrow P(R\cap B)=\mathrm{0,1}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{practique}}\mathbf{\text{ninguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{deportes.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

No practicar ninguno es el suceso contrario de practicar alguno.

$P(\bar{R}\cap \bar{B})=1-P(R\cup B)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes es $\mathrm{0,3}$, es decir, un $30\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{practica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{deporte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{montar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{bicicleta,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{practique}}\mathbf{\text{running?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que calculamos por su definición.

$P(R\mathrm{\mid }B)={\displaystyle \frac{P(R\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,3}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,3333}$

Sabiendo que monta en bicicleta, la probabilidad de que practique running es $\frac{1}{3}\approx \mathrm{0,3333}$, es decir, un $\mathrm{33,33}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{«practicar}}\mathbf{\text{running»}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{«practicar}}\mathbf{\text{montar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{bicicleta»?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades, así que basta comparar los dos números.

$P(R)\cdot P(B)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,15}$

$P(R\cap B)=\mathrm{0,1}\mathrm{\ne }\mathrm{0,15}=P(R)\cdot P(B)$

Los dos sucesos no son independientes. Se ve también en el apartado anterior: $P(R\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,3333}$ no coincide con $P(R)=\mathrm{0,5}$, de modo que saber que monta en bicicleta sí cambia la probabilidad de que practique running.