Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

$r\equiv \{\begin{array}{l}3x-2y=-1\\ 4y-3z=-1\end{array}s\equiv \{\begin{array}{l}x+4y+12=0\\ 6y+z+13=0\end{array}$

a) Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [1,25 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano $\pi$ paralelo a la recta $s$ que contiene a la recta $r$. Halle el punto de corte de dicho plano $\pi$ con la recta $t\equiv {\displaystyle \frac{x+4}{-1}}={\displaystyle \frac{y-8}{3}}=z-2$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se comparan primero los vectores directores y, si no son proporcionales, se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta: si se anula, las rectas se cortan; si no, se cruzan. Las dos vienen como intersección de planos, así que sus directores son los productos vectoriales de las normales.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& -2& 0\\ 0& 4& -3\end{array}\mid =(6,9,12)$

Dividiendo entre 3, ${\vec{v}}_r=(2,3,4)$.

${\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 4& 0\\ 0& 6& 1\end{array}\mid =(4,-1,6)$

Los directores no son proporcionales, pues ${\displaystyle \frac{2}{4}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{-1}}$, luego las rectas no son paralelas. Buscamos ahora un punto de cada una.

$P_r(-1,-1,-1):3(-1)-2(-1)=-1;4(-1)-3(-1)=-1$

$P_s(-12,0,-13):-12+0+12=0;0-13+13=0$

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(-12,0,-13)-(-1,-1,-1)=(-11,1,-12)$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 4& -1& 6\\ -11& 1& -12\end{array}\mid =-70\mathrm{\ne }0$



El producto mixto no se anula, de modo que los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{t}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un plano que contenga a $r$ y sea paralelo a $s$ tiene por vectores directores los de las dos rectas y pasa por cualquier punto de $r$; su vector normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 3& 4\\ 4& -1& 6\end{array}\mid =(22,4,-14)$

Dividiendo entre 2, $\vec{n}=(11,2,-7)$.

$\pi :11x+2y-7z+D=0$

$P_r(-1,-1,-1)\in \pi \Rightarrow -11-2+7+D=0\Rightarrow D=6$

Comprobamos que $s$ queda fuera del plano, porque si estuviera dentro no sería paralela sino contenida:

$P_s(-12,0,-13):11(-12)+0-7(-13)+6=-132+91+6=-35\mathrm{\ne }0$

Para el punto de corte escribimos $t$ en paramétricas y llevamos su punto genérico a la ecuación del plano.

${\displaystyle \frac{x+4}{-1}}={\displaystyle \frac{y-8}{3}}=z-2=\mu \Rightarrow t:\{\begin{array}{l}x=-4-\mu \\ y=8+3\mu \\ z=2+\mu \end{array}\mu \in \mathbb{R}$

$11(-4-\mu )+2(8+3\mu )-7(2+\mu )+6=-44-11\mu +16+6\mu -14-7\mu +6=-12\mu -36$

$-12\mu -36=0\Rightarrow \mu =-3$

El plano pedido es $\pi :11x+2y-7z+6=0$ y corta a la recta $t$ en el punto $(-1,-1,-1)$, que resulta ser el mismo punto $P_r$ empleado para determinar el plano.