Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dados los siguientes puntos en el espacio tridimensional:

$A(0,-2,3),B(1,-1,4),C(2,3,3)\text{ y }D(4,5,5)$

a) Compruebe que los cuatro puntos son coplanarios. A continuación, calcule la ecuación del plano que los contiene. [1,5 puntos]

b) Calcule la ecuación de la recta $r$, perpendicular al plano $\pi :\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda +3\mu \\ y=-2+\lambda \\ z=1-3\lambda -3\mu \end{array}$, que pasa por el punto $A$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{coplanarios.}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{continuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{contiene.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que se obtienen uniendo uno de ellos con los otros tres son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto se anula.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,1),\overrightarrow{AC}=(2,5,0),\overrightarrow{AD}=(4,7,2)$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 5& 0\\ 4& 7& 2\end{array}\mid =10+0+14-20-0-4=0$

El determinante se anula, luego los cuatro puntos están en un mismo plano. Como $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ no son proporcionales, sirven como vectores directores del plano y su producto vectorial da el vector normal.

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& 5& 0\end{array}\mid =(-5,2,3)$

$\pi :-5x+2y+3z+D=0$

$A(0,-2,3)\in \pi \Rightarrow 0-4+9+D=0\Rightarrow D=-5$



Comprobamos con el cuarto punto, que no ha intervenido en el cálculo:

$D(4,5,5):-20+10+15-5=0$

El plano que contiene a los cuatro puntos es $\pi :-5x+2y+3z-5=0$, o equivalentemente $5x-2y-3z+5=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El plano viene dado en paramétricas, así que su vector normal es el producto vectorial de sus dos vectores directores. Ese mismo vector es el director de la recta buscada, por ser perpendicular al plano.

${\vec{u}}_1=(2,1,-3),{\vec{u}}_2=(3,0,-3)$

${\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& -3\\ 3& 0& -3\end{array}\mid =(-3,-3,-3)$

Dividiendo entre $-3$, ${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,1)$.

$r:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2+t\\ z=3+t\end{array}t\in \mathbb{R}$

La recta pedida pasa por $A(0,-2,3)$ y tiene vector director $(1,1,1)$.