Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:

$r:5-x=y-3=5-z\pi :3x-4y-8z+35=0$

a) Compruebe que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto. Averigüe dicho punto. [1,5 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano que pasa por el punto $A(2,2,2)$, paralelo a la recta $r$, y perpendicular al plano $\pi$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{Averig}}\ddot{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una recta y un plano se cortan en un único punto cuando el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Escribimos primero $r$ en paramétricas, igualando a un parámetro las tres expresiones de su forma continua.

$5-x=y-3=5-z=t\Rightarrow r:\{\begin{array}{l}x=5-t\\ y=3+t\\ z=5-t\end{array}t\in \mathbb{R}$

${\vec{v}}_r=(-1,1,-1),{\vec{n}}_{\pi }=(3,-4,-8)$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-3-4+8=1\mathrm{\ne }0$

Luego la recta y el plano son secantes. Llevamos el punto genérico de $r$ a la ecuación del plano.

$3(5-t)-4(3+t)-8(5-t)+35=15-3t-12-4t-40+8t+35=t-2$

$t-2=0\Rightarrow t=2$



Comprobamos el punto en la ecuación del plano:

$3\cdot 3-4\cdot 5-8\cdot 3+35=9-20-24+35=0$

La recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en el punto $(3,5,3)$.



Ser paralelo a $r$ significa contener su dirección; ser perpendicular a $\pi$ significa contener la dirección del vector normal de $\pi$. Esos son, por tanto, los dos vectores directores del plano buscado, y su producto vectorial da el vector normal.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& -1\\ 3& -4& -8\end{array}\mid =(-12,-11,1)$

$\sigma :-12x-11y+z+D=0$

$A(2,2,2)\in \sigma \Rightarrow -24-22+2+D=0\Rightarrow D=44$

Comprobamos la perpendicularidad de los dos planos, que se traduce en que sus normales sean ortogonales:

$\vec{n}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-36+44-8=0$

El plano pedido es $\sigma :-12x-11y+z+44=0$, o equivalentemente $12x+11y-z-44=0$.