Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dada la recta $r:\{\begin{array}{l}x=-2\lambda \\ y=2+\lambda \\ z=2+\lambda \end{array}$, y dado el plano $\pi \equiv x-3y+5z=2$

a) ¿Cuál es la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$? [1,25 puntos]

b) Calcule el plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para situar una recta respecto de un plano se compara el vector director de la recta con el vector normal del plano: si el producto escalar no se anula, se cortan; si se anula, la recta es paralela al plano o está contenida en él, y para distinguir los dos casos se mira si un punto de la recta cumple la ecuación del plano.

${\vec{v}}_r=(-2,1,1),{\vec{n}}_{\pi }=(1,-3,5)$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-2-3+5=0$

El producto escalar se anula, luego la recta no corta al plano. Tomamos su punto $P_r(0,2,2)$, que se obtiene con $\lambda =0$, y lo sustituimos en la ecuación del plano:

$0-3\cdot 2+5\cdot 2=-6+10=4\mathrm{\ne }2$



El punto no pertenece al plano, de modo que la recta $r$ es paralela al plano $\pi$ y no está contenida en él.



Que ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ sea perpendicular a $\pi$ equivale a que contenga la dirección del vector normal de $\pi$. Junto con el director de $r$, esos son sus dos vectores directores, y su producto vectorial da el vector normal de ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$.

${\vec{n}}^{\mathrm{\prime }}={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 1& 1\\ 1& -3& 5\end{array}\mid =(8,11,5)$

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:8x+11y+5z+D=0$

$P_r(0,2,2)\in {\pi }^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow 0+22+10+D=0\Rightarrow D=-32$

Comprobamos la perpendicularidad de los dos planos, que se traduce en que sus normales sean ortogonales:

${\vec{n}}^{\mathrm{\prime }}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=8-33+25=0$

El plano pedido es ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:8x+11y+5z-32=0$.