Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Estudie la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro $b$:

$\begin{array}{rcl}x+2y-z& =& 2\\ x+(1+b)y-bz& =& 2b\\ x+by+(1+b)z& =& 1\end{array}\}$

[2 puntos]

La posición relativa de tres planos se decide comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada, por el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& 1+b& -b\\ 1& b& 1+b\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 2\\ 1& 1+b& -b& 2b\\ 1& b& 1+b& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=2b^2-2b=2b(b-1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=0\\ b=1\end{array}$

Si $b\mathrm{\ne }0$ y $b\mathrm{\ne }1$, entonces $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado: los tres planos se cortan en un único punto.

Para $b=0$:

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =1+0+0-2-0-2=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

Como $\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })$, el sistema es incompatible. Además, ningún par de filas de $M$ es proporcional, así que no hay dos planos paralelos ni coincidentes: los tres se cortan dos a dos en tres rectas paralelas y forman una superficie prismática.



Para $b=1$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 2\\ 1& 2& -1& 2\\ 1& 1& 2& 1\end{array}\right)$

Las dos primeras filas son idénticas también en la ampliada, luego

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos primero y segundo son el mismo y el tercero los corta, de modo que los tres tienen en común una recta.

En resumen: para $b\mathrm{\ne }0,1$ los tres planos se cortan en un punto; para $b=0$ forman una superficie prismática y no tienen ningún punto común; y para $b=1$ dos de ellos coinciden y los tres comparten una recta.