Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados el plano $\pi$ de ecuación $x+2y-z=0$ y $r$ la recta de ecuaciones $r\equiv \{\begin{array}{l}y-2x=1\\ x-z=0\end{array}$.

a) Halle el punto de intersección del plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

b) Calcule la distancia del origen a la recta $r$. [1 punto]

Empezamos pasando la recta a paramétricas, porque los dos apartados necesitan un punto y un vector director suyos.

$r\equiv \{\begin{array}{l}y-2x=1\\ x-z=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=1+2\lambda \\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}\Rightarrow P_r(0,1,0),{\vec{v}}_r=(1,2,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Sustituimos las coordenadas de un punto genérico de la recta en la ecuación del plano y despejamos el parámetro.

$\lambda +2(1+2\lambda )-\lambda =0\Rightarrow \lambda +2+4\lambda -\lambda =0$

$4\lambda +2=0\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Llevamos ese valor a las paramétricas:

$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}},y=1+2(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0,z=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

El punto de intersección es $P(-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2})$. Al existir un único valor de $\lambda$, la recta corta al plano en un solo punto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular, y se obtiene con el producto vectorial del vector que une el punto con uno de la recta y el vector director.



$d(O,r)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{O{P}_r}\times {\vec{v}}_r\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid }}$

$\overrightarrow{O{P}_r}=(0,1,0)-(0,0,0)=(0,1,0)$

$\overrightarrow{O{P}_r}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\mid =(1-0)\vec{i}-(0-0)\vec{j}+(0-1)\vec{k}=(1,0,-1)$

$\mid \overrightarrow{O{P}_r}\times {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$

$d(O,r)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\text{ u}$

La distancia del origen a la recta $r$ es de $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx \mathrm{0,5774}$ unidades de longitud.