Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Sea el plano $\mathrm{\Pi }\equiv x+y+z=1$. Encuentre un plano paralelo a $\mathrm{\Pi }$ tal que el triángulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga área $2\sqrt{3}$. [2 puntos]

Dos planos son paralelos cuando tienen la misma dirección normal, así que el plano buscado se diferencia del dado solo en el término independiente. Le llamamos $d$ y lo determinamos con la condición del área.

$\sigma :x+y+z=d$

Los puntos de corte con los ejes se obtienen anulando las otras dos coordenadas:

$A(d,0,0)B(0,d,0)C(0,0,d)$

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados:

$\overrightarrow{AB}=(-d,d,0)\overrightarrow{AC}=(-d,0,d)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -d& d& 0\\ -d& 0& d\end{array}\mid =\left(d^2\right)\vec{i}-(-d^2)\vec{j}+\left(d^2\right)\vec{k}=(d^2,d^2,d^2)$

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{3d^4}=d^2\sqrt{3}$

$S={\displaystyle \frac{d^2\sqrt{3}}{2}}$

Imponemos ahora la condición del enunciado:

${\displaystyle \frac{d^2\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}\Rightarrow d^2=4\Rightarrow d=\pm 2$

Hay, por tanto, dos planos que cumplen lo pedido, uno a cada lado del origen: $x+y+z=2$ y $x+y+z=-2$. Ninguno coincide con $\mathrm{\Pi }$, cuyo término independiente es $1$.