Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

a) Halle el punto simétrico de $P(2,2,1)$ respecto de la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x-2y+z=2\\ y-z=1\end{array}$ [1,25 puntos]

b) Halle el punto simétrico de $Q(1,-1,-3)$ respecto del plano $\pi \equiv x-2y+z+6=0$. [1,25 puntos]

El simétrico se obtiene en tres fases: i) se construye el plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$; ii) se corta con $r$ para hallar el pie $M$; iii) se impone que $M$ sea el punto medio de $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$.

Un vector director de $r$ es el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen:

${\vec{v}}_r=(1,-2,1)\times (0,1,-1)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =(1,1,1)$





Tomando $z=0$ en las ecuaciones de $r$ se obtiene $y=1$ y $x=4$, de modo que

$r:\{\begin{array}{l}x=4+\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

i) El plano $\sigma$ perpendicular a $r$ por $P$ tiene por normal a ${\vec{v}}_r$:

$\sigma :x+y+z+D=0;2+2+1+D=0\Rightarrow D=-5$

$\sigma :x+y+z-5=0$

ii) Cortamos $r$ con $\sigma$ sustituyendo las paramétricas:

$(4+\lambda )+(1+\lambda )+\lambda -5=0\Rightarrow 3\lambda =0\Rightarrow \lambda =0$

$M(4,1,0)$

iii) Imponemos que $M$ sea el punto medio de $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$:

$P^{\mathrm{\prime }}=2M-P=(8-2,2-2,0-1)$

El simétrico de $P$ respecto de la recta $r$ es el punto $P^{\mathrm{\prime }}(6,0,-1)$.













Se procede igual, pero ahora la recta auxiliar es la perpendicular al plano por $Q$, cuyo vector director es el normal de $\pi$.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,1)$

$s:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=-1-2\lambda \\ z=-3+\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$





Cortamos $s$ con $\pi$:

$(1+\lambda )-2(-1-2\lambda )+(-3+\lambda )+6=0$

$6\lambda +6=0\Rightarrow \lambda =-1$

$M(0,1,-4)$

Imponemos que $M$ sea el punto medio de $\overline{Q{Q}^{\mathrm{\prime }}}$:

$Q^{\mathrm{\prime }}=2M-Q=(0-1,2+1,-8+3)$

Comprobamos que $M$ pertenece efectivamente al plano: $0-2\cdot 1+(-4)+6=0$.

El simétrico de $Q$ respecto del plano $\pi$ es el punto $Q^{\mathrm{\prime }}(-1,3,-5)$.