Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

El plano perpendicular al segmento de extremos $P(0,3,8)$ y $Q(2,1,6)$ que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos $A$, $B$ y $C$. Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A$, $B$ y $C$. [2,5 puntos]

El problema se resuelve en tres fases: i) se escribe el plano mediador del segmento; ii) se cortan sus ecuaciones con cada eje; iii) se calcula el área del triángulo mediante el producto vectorial.

i) El vector $\overrightarrow{PQ}$ es normal al plano, y el punto medio del segmento le pertenece.

$\overrightarrow{PQ}=(2,1,6)-(0,3,8)=(2,-2,-2)$

$M=({\displaystyle \frac{0+2}{2}},{\displaystyle \frac{3+1}{2}},{\displaystyle \frac{8+6}{2}})=(1,2,7)$

Como el vector normal admite el factor común $2$, tomamos el más sencillo $(1,-1,-1)$:

$\pi :x-y-z+D=0;1-2-7+D=0\Rightarrow D=8$

$\pi :x-y-z+8=0$

ii) Cortamos con cada eje anulando las otras dos coordenadas:

$y=z=0\Rightarrow x+8=0\Rightarrow A(-8,0,0)$

$x=z=0\Rightarrow -y+8=0\Rightarrow B(0,8,0)$

$x=y=0\Rightarrow -z+8=0\Rightarrow C(0,0,8)$











iii) El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{AB}=(8,8,0);\overrightarrow{AC}=(8,0,8)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 8& 8& 0\\ 8& 0& 8\end{array}\mid =(64,-64,-64)$





$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{{64}^2+{64}^2+{64}^2}=64\sqrt{3}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 64\sqrt{3}=32\sqrt{3}$

El área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es de $32\sqrt{3}\approx \mathrm{55,43}$ unidades de área.