Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere las rectas

$r\equiv \{\begin{array}{l}2x-3y+z-2=0\\ -3x+2y+2z+1=0\end{array}$ y $s\equiv \{\begin{array}{l}x=3-2\lambda \\ y=-1+\lambda \\ z=-2+2\lambda \end{array}$

a) Calcule el plano perpendicular a la recta $s$ que pasa por el punto $P(1,0,-5)$. [1,5 puntos]

b) Calcule el seno del ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi \equiv -2x+y+2z=0$. [1 punto]

Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta es un vector normal del plano. Lo leemos de las ecuaciones paramétricas de $s$.

${\vec{v}}_s=(-2,1,2)$

$\pi :-2x+y+2z+D=0$

Imponemos que el plano pase por $P$:

$-2\cdot 1+0+2\cdot (-5)+D=0\Rightarrow -12+D=0\Rightarrow D=12$

El plano perpendicular a $s$ que pasa por $P$ es $-2x+y+2z+12=0$.













El ángulo que una recta forma con un plano es el complementario del que forma con su vector normal, y por eso el seno del primero es el coseno del segundo. Necesitamos, pues, un vector director de $r$, que se obtiene como producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen.

${\vec{v}}_r=(2,-3,1)\times (-3,2,2)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -3& 1\\ -3& 2& 2\end{array}\mid$





${\vec{v}}_r=(-8,-7,-5)$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=(-8)(-2)+(-7)(1)+(-5)(2)=16-7-10=-1$

$\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{64+49+25}=\sqrt{138};\mid {\vec{n}}_{\pi }\mid =\sqrt{4+1+4}=3$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{138}}}$

El seno del ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$ vale ${\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{138}}}\approx \mathrm{0,0284}$, de modo que la recta es casi paralela al plano.