Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Siendo $a\mathrm{\ne }0$, considere las rectas

$r\equiv x-1=y-2={\displaystyle \frac{z-1}{a}}$ y $s\equiv {\displaystyle \frac{x-3}{-a}}={\displaystyle \frac{y-3}{-1}}={\displaystyle \frac{z+1}{2}}$

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas según los valores de $a$. [1,25 puntos]

b) Para $a=2$, determine las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de $r$ y $s$ y es perpendicular a ambas. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Leemos de cada ecuación continua un punto y un vector director.

$r:R(1,2,1),{\vec{v}}_r=(1,1,a);s:S(3,3,-1),{\vec{v}}_s=(-a,-1,2)$

Empezamos descartando el paralelismo. Si los directores fueran proporcionales, de las segundas coordenadas saldría la razón $-1$, y entonces la primera exigiría $a=1$ mientras que la tercera exigiría $a=-2$. Es imposible, así que las rectas nunca son paralelas y su rango es siempre $2$.

Para distinguir entre cortarse y cruzarse calculamos el producto mixto:

$\overrightarrow{RS}=(3,3,-1)-(1,2,1)=(2,1,-2)$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 1& 1& a\\ -a& -1& 2\end{array}\mid =2(2+a)-(2+a^2)-2(a-1)=4-a^2$

$4-a^2=0\Rightarrow a=\pm 2$

Ambos valores cumplen la restricción $a\mathrm{\ne }0$ del enunciado.

Si $a=2$ o $a=-2$, las rectas son coplanarias y, al no ser paralelas, se cortan. Para cualquier otro valor de $a$ (con $a\mathrm{\ne }0$) el producto mixto no se anula y las rectas se cruzan.













Con $a=2$ los directores son ${\vec{v}}_r=(1,1,2)$ y ${\vec{v}}_s=(-2,-1,2)$. Buscamos primero el punto común igualando las paramétricas de ambas rectas.

$\{\begin{array}{l}1+t=3-2\mu \\ 2+t=3-\mu \\ 1+2t=-1+2\mu \end{array}$





De la segunda ecuación, $t=1-\mu$; llevándolo a la primera:

$1+1-\mu =3-2\mu \Rightarrow \mu =1\Rightarrow t=0$

$P(1,2,1)$

Comprobamos en la tercera ecuación, que aún no se ha usado: $1+0=-1+2$.

La recta buscada ha de tener dirección perpendicular a las dos, es decir, la del producto vectorial de los directores:

${\vec{v}}_t={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 2\\ -2& -1& 2\end{array}\mid =(4,-6,1)$

Comprobamos la perpendicularidad:

${\vec{v}}_t\cdot {\vec{v}}_r=4-6+2=0;{\vec{v}}_t\cdot {\vec{v}}_s=-8+6+2=0$

La recta pedida es $t:\{\begin{array}{l}x=1+4\lambda \\ y=2-6\lambda \\ z=1+\lambda \end{array}$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.