Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

a) [1 punto] Calcule el volumen de la región generada al girar la función $f(x)=x$ entre los puntos $x=2$ y $x=3$ con respecto al eje X.

b) [1,5 puntos] Estudie la posición relativa de los siguientes planos: ${\pi }_1\equiv x+y=1$; ${\pi }_2\equiv x+y+z=2$; ${\pi }_3\equiv z=0$.

Al girar alrededor del eje $OX$, cada sección perpendicular al eje es un círculo de radio $f(x)$, y el volumen se obtiene sumando esos discos con la integral correspondiente.

$V=\pi {\int }_a^b{[f(x)]}^{2}dx=\pi {\int }_2^3{x}^{2}dx$

$V=\pi {\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_2^3=\pi ({\displaystyle \frac{27}{3}}-{\displaystyle \frac{8}{3}})={\displaystyle \frac{19\pi }{3}}$



El cuerpo engendrado es un tronco de cono de radios $2$ y $3$, y su volumen es ${\displaystyle \frac{19\pi }{3}}\approx \mathrm{19,8968}$ unidades cúbicas.



La posición relativa de tres planos se decide comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada del sistema que forman.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 2\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =0$

Como el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$, se tiene $\mathrm{ran}(A)=2$. En la ampliada, orlando con la columna de términos independientes,

$\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =-(2-1)=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Los tres planos no tienen ningún punto en común. Falta ver si es porque hay planos paralelos: los vectores normales son ${\vec{n}}_1=(1,1,0)$, ${\vec{n}}_2=(1,1,1)$ y ${\vec{n}}_3=(0,0,1)$, y ninguno es proporcional a otro, de modo que los planos se cortan dos a dos.



Los tres planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas y no tienen ningún punto común: forman una superficie prismática.