Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Se considera el punto $A(1,-2,0)$ y la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x+y=0\\ y-3z+2=0\end{array}$

a) Calcule la ecuación del plano que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. [1,25 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$











Si un plano es perpendicular a una recta, el director de la recta es un vector normal del plano. Como $r$ viene dada por dos planos, su director es el producto vectorial de los dos normales.

${\vec{v}}_r=(1,1,0)\times (0,1,-3)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& -3\end{array}\mid$

${\vec{v}}_r=(-3,3,1)$





${\pi }_1:-3x+3y+z+D=0$

Imponemos que pase por $A(1,-2,0)$:

$-3-6+0+D=0\Rightarrow D=9$

El plano perpendicular a $r$ que pasa por $A$ es ${\pi }_1:-3x+3y+z+9=0$, o equivalentemente $3x-3y-z-9=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el plano ha de contener la dirección de $r$ y además la del vector que une $A$ con un punto cualquiera de la recta, así que su normal es perpendicular a ambas.

Tomando $z=0$ en las ecuaciones de $r$ se obtiene $y=-2$ y $x=2$:

$R(2,-2,0);\overrightarrow{AR}=(2,-2,0)-(1,-2,0)=(1,0,0)$

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{AR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -3& 3& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\mid =(0,1,-3)$

${\pi }_2:y-3z+D=0;-2-0+D=0\Rightarrow D=2$

El resultado merece un comentario: ${\pi }_2:y-3z+2=0$ es precisamente uno de los dos planos con los que el enunciado define la recta. No es casualidad, sino que el punto $A$ ya pertenecía a él, como se comprueba al sustituir: $-2-0+2=0$.

El plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ es ${\pi }_2:y-3z+2=0$.