Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere los planos ${\pi }_1\equiv x-y+z=0$ y ${\pi }_2\equiv x+y=2$.

a) Calcule la distancia entre la recta intersección de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ y el punto $P(2,6,-2)$. [1,5 puntos]

b) Halle el ángulo que forman ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$. [1 punto]

Necesitamos un punto y un vector director de la recta intersección. El director es perpendicular a los dos normales, luego es su producto vectorial, y el punto se obtiene resolviendo el sistema de los dos planos.

${\vec{n}}_1=(1,-1,1);{\vec{n}}_2=(1,1,0)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =(-1,1,2)$

Tomando $z=0$ queda $x-y=0$ junto con $x+y=2$, de donde $x=y=1$:

$R(1,1,0)$

Aplicamos ahora la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

$\overrightarrow{RP}=(2,6,-2)-(1,1,0)=(1,5,-2)$

$\overrightarrow{RP}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 5& -2\\ -1& 1& 2\end{array}\mid =(12,0,6)$

$\mid \overrightarrow{RP}\times {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{144+0+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$

$\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

$d(P,r)={\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{6}}}=\sqrt{30}$

La distancia del punto $P$ a la recta intersección es $\sqrt{30}\approx \mathrm{5,48}$ unidades.













El ángulo que forman dos planos es el que forman sus vectores normales, tomado siempre agudo, de ahí el valor absoluto en el numerador.

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2\mid }{\mid {\vec{n}}_1\mid \mid {\vec{n}}_2\mid }}$

${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 0=0$





$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{0}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}}=0\Rightarrow \alpha ={90}^{\circ }$

Los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ forman un ángulo de ${90}^{\circ }$, es decir, son perpendiculares.