Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Considere las rectas $r\equiv \{\begin{array}{l}y=0\\ 2x-z=0\end{array}$ y $s\equiv \{\begin{array}{l}x+y+7=0\\ z=0\end{array}$

a) Estudie la posición relativa de $r$ y $s$. [1 punto]

b) Calcule la ecuación del plano paralelo a $r$ y $s$ que equidista de ambas rectas. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para estudiar la posición relativa de dos rectas comparamos el rango de la matriz formada por sus vectores directores con el de la matriz que incorpora además el vector que une un punto de cada una.

De $r$, con $y=0$ y $z=2x$, tomando $x=\lambda$:

$r:\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=0\\ z=2\lambda \end{array}\Rightarrow P_r(0,0,0),{\vec{v}}_r=(1,0,2)$

De $s$, con $z=0$ y $x=-7-\mu$, tomando $y=\mu$:

$s:\{\begin{array}{l}x=-7-\mu \\ y=\mu \\ z=0\end{array}\Rightarrow P_s(0,-7,0),{\vec{v}}_s=(-1,1,0)$

Los directores no son proporcionales, luego las rectas no son paralelas y su rango es $2$. Añadimos $\overrightarrow{P_r{P}_s}=(0,-7,0)$ y calculamos el determinante:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 1& 0\\ 0& -7& 0\end{array}\mid =2\cdot \mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -7\end{array}\mid =2\cdot 7=14\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, el rango de la matriz ampliada es $3$ y no existe ningún plano que contenga a las dos rectas.

Las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{equidista}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$











Un plano paralelo a las dos rectas tiene por vector normal al producto vectorial de sus directores. La condición de equidistancia fija después el término independiente.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& 2\\ -1& 1& 0\end{array}\mid =(-2,-2,1)$





$\pi :-2x-2y+z+D=0$

Como el plano es paralelo a cada recta, su distancia a la recta coincide con la distancia a cualquier punto de ella; tomamos $P_r$ y $P_s$.

$\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{9}=3$

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-2\cdot 0-2\cdot 0+0+D\mathrm{\mid }}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }}{3}}$

$d(s,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-2\cdot 0-2\cdot (-7)+0+D\mathrm{\mid }}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D+14\mathrm{\mid }}{3}}$

Igualamos ambas distancias:

$\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }D+14\mathrm{\mid }$

$D=-(D+14)\Rightarrow 2D=-14\Rightarrow D=-7$

Se descarta la otra posibilidad, $D=D+14$, por no tener solución. Comprobamos que las dos distancias valen entonces lo mismo:

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{7}{3}}=d(s,\pi )$

El plano pedido es $\pi :-2x-2y+z-7=0$, o equivalentemente $\pi :2x+2y-z+7=0$, y dista ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ unidades de cada una de las dos rectas.