Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Sean las rectas $r$ y $s$ dadas por $r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2-3\lambda \\ z=1\end{array}$ y $s:\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x-y-z=4\end{array}$.

a) Obtenga un plano $\mathrm{\Pi }$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. [1 punto]

b) Calcule la distancia entre las dos rectas. [1 punto]

Necesitamos un punto y un vector director de cada recta. La primera ya viene en paramétricas; la segunda la resolvemos como sistema.

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2-3\lambda \\ z=1\end{array}\Rightarrow P_r(1,2,1),{\vec{v}}_r=(1,-3,0)$

Sumando y restando las dos ecuaciones de $s$:

$2x=6\Rightarrow x=32y+2z=-2\Rightarrow y+z=-1$

$s:\{\begin{array}{l}x=3\\ y=t\\ z=-1-t\end{array}\Rightarrow P_s(3,0,-1),{\vec{v}}_s=(0,1,-1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El plano queda determinado por un punto de $r$ y por las dos direcciones, la de $r$ y la de $s$; su producto vectorial es el vector normal.

${\vec{n}}_{\mathrm{\Pi }}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -3& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =(3-0)\vec{i}-(-1-0)\vec{j}+(1-0)\vec{k}=(3,1,1)$

$\mathrm{\Pi }:3x+y+z+D=0$

Imponemos que pase por $P_r$:

$3\cdot 1+2+1+D=0\Rightarrow D=-6$

$\mathrm{\Pi }:3x+y+z-6=0$

Comprobamos que $s$ no está contenida en el plano, sustituyendo su punto:

$3\cdot 3+0-1-6=2\mathrm{\ne }0$

El plano pedido es $\mathrm{\Pi }:3x+y+z-6=0$, que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rectas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Los directores no son proporcionales y $s$ no corta al plano que contiene a $r$, luego las dos rectas se cruzan. Su distancia es el cociente entre el valor absoluto del producto mixto y el módulo del producto vectorial de los directores.



$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(3,0,-1)-(1,2,1)=(2,-2,-2)$

$[\overrightarrow{P_r{P}_s},{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s]=\mid \begin{array}{ccc}2& -2& -2\\ 1& -3& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =6+0-2-0-0-2=2$

$\mid {\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s\mid =\mid (3,1,1)\mid =\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}$

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }}{\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{11}}{11}}\text{ u}$

La distancia entre las dos rectas es de $\frac{2\sqrt{11}}{11}\approx \mathrm{0,6030}$ unidades de longitud.