Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sean el plano $\mathrm{\Pi }$ de ecuación $2x+y-z-2=0$ y la recta $r$ dada por ${\displaystyle \frac{x}{3}}={\displaystyle \frac{y-2}{-3}}={\displaystyle \frac{z-1}{3}}$.

a) Estudie la posición relativa de la recta respecto del plano. [1 punto]

b) Calcule la distancia de la recta al plano. [1 punto]

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y un vector director.

$r:{\displaystyle \frac{x}{3}}={\displaystyle \frac{y-2}{-3}}={\displaystyle \frac{z-1}{3}}\Rightarrow P_r(0,2,1),{\vec{v}}_r=(3,-3,3)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, la recta no lo corta: o es paralela o está contenida en él. Lo decide después un punto.

${\vec{n}}_{\mathrm{\Pi }}=(2,1,-1)$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\mathrm{\Pi }}=3\cdot 2+(-3)\cdot 1+3\cdot (-1)=6-3-3=0$

Los dos vectores son perpendiculares, así que la recta no corta al plano. Comprobamos si su punto pertenece a él:

$2\cdot 0+2-1-2=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow P_r\mathrm{\notin }\mathrm{\Pi }$

La recta $r$ es paralela al plano $\mathrm{\Pi }$ y exterior a él.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Al ser paralelos, todos los puntos de la recta están a la misma distancia del plano, de modo que basta calcular la de uno cualquiera con la fórmula de la distancia de un punto a un plano.



$d(r,\mathrm{\Pi })=d(P_r,\mathrm{\Pi })={\displaystyle \frac{\mid A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mid }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$

$d(r,\mathrm{\Pi })={\displaystyle \frac{\mid 2\cdot 0+2-1-2\mid }{\sqrt{2^2+1^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\text{ u}$

La distancia de la recta al plano es de $\frac{\sqrt{6}}{6}\approx \mathrm{0,4082}$ unidades de longitud.