Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sean las rectas $r:\{\begin{array}{l}x=2-2y\\ z=1-x\end{array}$ y $s:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-3}{1}}={\displaystyle \frac{z+1}{-2}}$.

a) Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

b) Calcule la distancia entre las dos rectas. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Pasamos $r$ a paramétricas tomando $y$ como parámetro, y leemos de $s$ su punto y su director.

$r:\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=t\\ z=1-x=2t-1\end{array}\Rightarrow P_r(2,0,-1),{\vec{v}}_r=(-2,1,2)$

$s:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-3}{1}}={\displaystyle \frac{z+1}{-2}}\Rightarrow P_s(1,3,-1),{\vec{v}}_s=(2,1,-2)$

Los directores no son proporcionales, porque $\frac{-2}{2}\mathrm{\ne }\frac{1}{1}$, así que las rectas o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada una: si se anula, las tres direcciones son coplanarias y las rectas se cortan.

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(1,3,-1)-(2,0,-1)=(-1,3,0)$

$[\overrightarrow{P_r{P}_s},{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s]=\mid \begin{array}{ccc}-1& 3& 0\\ -2& 1& 2\\ 2& 1& -2\end{array}\mid =2+12+0-0+2-12=4\mathrm{\ne }0$

El producto mixto no es nulo, luego las rectas $r$ y $s$ se cruzan.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rectas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para dos rectas que se cruzan, la distancia es el cociente entre el valor absoluto del producto mixto anterior y el módulo del producto vectorial de los directores.

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mid [\overrightarrow{P_r{P}_s},{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s]\mid }{\mid {\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s\mid }}$

${\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 1& 2\\ 2& 1& -2\end{array}\mid =(-2-2)\vec{i}-(4-4)\vec{j}+(-2-2)\vec{k}=(-4,0,-4)$

$\mid {\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s\mid =\sqrt{16+0+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$d(r,s)={\displaystyle \frac{4}{4\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\text{ u}$

La distancia entre las dos rectas es de $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,7071}$ unidades de longitud.