Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dada la recta $r$ definida por ${\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{3}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}$:

a) Halle la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$. [1 punto]

b) Halle la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$. [1 punto]

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y un vector director, que es lo que necesitan los dos apartados.

$r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{3}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}\Rightarrow P_r(1,-1,2),{\vec{v}}_r=(2,3,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Un plano que pasa por el origen y contiene a la recta queda determinado por dos direcciones: la de la propia recta y la del vector que une el origen con un punto de ella. Su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{O{P}_r}=(1,-1,2)$

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{O{P}_r}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\mid =(-1-6)\vec{i}-(1-4)\vec{j}+(3+2)\vec{k}=(-7,3,5)$

Como el plano pasa por el origen, su término independiente es cero:

$\pi :-7x+3y+5z=0\text{o bien}\pi :7x-3y-5z=0$

Comprobamos que $P_r$ pertenece al plano, con lo que la recta entera está contenida en él:

$7\cdot 1-3(-1)-5\cdot 2=7+3-10=0$

El plano pedido es $\pi :7x-3y-5z=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de esta es un vector normal del plano, así que la ecuación se escribe de forma inmediata.

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{v}}_r=(2,3,1)\Rightarrow \sigma :2x+3y+z+D=0$

Imponemos que pase por el origen:

$2\cdot 0+3\cdot 0+0+D=0\Rightarrow D=0$

El plano pedido es $\sigma :2x+3y+z=0$. Obsérvese que los dos planos son perpendiculares entre sí, porque sus normales lo son: $(-7,3,5)\cdot (2,3,1)=-14+9+5=0$.