Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados los puntos $A=(0,0,2)$ y $B=(1,1,0)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=z\end{array}$, calcule un punto $P\in r$ para que el triángulo $ABP$ tenga un ángulo recto en el punto $A$. [2 puntos]

Que el triángulo $ABP$ tenga un ángulo recto en $A$ significa que los dos lados que salen de ese vértice son perpendiculares, es decir, que el producto escalar de $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AP}$ se anula. Escribimos primero un punto genérico de la recta.

$r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=z\end{array}\Rightarrow P(1,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

$\overrightarrow{AB}=(1,1,0)-(0,0,2)=(1,1,-2)$

$\overrightarrow{AP}=(1,\lambda ,\lambda )-(0,0,2)=(1,\lambda ,\lambda -2)$

Imponemos la perpendicularidad:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=1+\lambda -2(\lambda -2)=1+\lambda -2\lambda +4=5-\lambda$

$5-\lambda =0\Rightarrow \lambda =5$

Llevamos ese valor a las paramétricas de la recta:

$P(1,5,5)$

Comprobamos el resultado:

$\overrightarrow{AP}=(1,5,3)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=1+5-6=0$

El punto pedido es $P(1,5,5)$, y es el único de la recta que cumple la condición porque la ecuación en $\lambda$ es de primer grado.