Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dados los puntos $A=(0,0,2)$ y $B=(1,1,0)$ y la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x=1\\ y=z\end{array}$.

a) Halle el plano que contiene a $r$ y es paralelo al vector $\overrightarrow{AB}$. [1,25 puntos]

b) Halle la distancia del punto $A$ a la recta $r$. [0,75 puntos]

Pasamos primero la recta a paramétricas, porque los dos apartados necesitan un punto y un vector director suyos.

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=1\\ y=z\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ y=\lambda \\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}\Rightarrow P_r(1,0,0),{\vec{v}}_r=(0,1,1)$



El plano queda determinado por un punto de $r$ y por dos direcciones: la de la propia recta y la de $\overrightarrow{AB}$. Su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,0)-(0,0,2)=(1,1,-2)$

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{AB}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\mid =(-2-1)\vec{i}-(0-1)\vec{j}+(0-1)\vec{k}=(-3,1,-1)$

$\pi :-3x+y-z+D=0$

Imponemos que $P_r$ pertenezca al plano:

$-3\cdot 1+0-0+D=0\Rightarrow D=3$

$\pi :-3x+y-z+3=0\text{o bien}\pi :3x-y+z-3=0$

Comprobamos que el punto $A$ no está en el plano, de modo que $\overrightarrow{AB}$ marca una dirección paralela a él y no contenida:

$3\cdot 0-0+2-3=-1\mathrm{\ne }0$

El plano pedido es $\pi :3x-y+z-3=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular, y se obtiene con el producto vectorial del vector que une el punto con uno de la recta y el vector director.



$d(A,r)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{A{P}_r}\times {\vec{v}}_r\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid }}$

$\overrightarrow{A{P}_r}=(1,0,0)-(0,0,2)=(1,0,-2)$

$\overrightarrow{A{P}_r}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =(0+2)\vec{i}-(1-0)\vec{j}+(1-0)\vec{k}=(2,-1,1)$

$\mid \overrightarrow{A{P}_r}\times {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}$

$d(A,r)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}}=\sqrt{3}\text{ u}$

La distancia del punto $A$ a la recta $r$ es de $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7321}$ unidades de longitud.