Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Se consideran las rectas $r:\{\begin{array}{l}x=1-2\lambda \\ y=5+2\lambda \\ z=-6\lambda \end{array}$ y $s:{\displaystyle \frac{x+1}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{a}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$.

a) Calcule $a$ para que ambas rectas sean paralelas. [1 punto]

b) Halle el ángulo que forman la recta $r$ y el plano de ecuación $-3x+4y-4=0$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{paralelas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales, así que basta leer un director de cada una e imponer esa proporcionalidad.

${\vec{v}}_r=(-2,2,-6){\vec{v}}_s=(1,a,3)$

Simplificamos ${\vec{v}}_r$ dividiendo entre $-2$, que da un director de la misma dirección:

${\vec{v}}_r=-2(1,-1,3)\Rightarrow (1,-1,3)\text{es tambi}\acute{\text{e}}\text{n director de }r$

$(1,a,3)=(1,-1,3)\Rightarrow a=-1$

Las dos rectas son paralelas para $a=-1$.



El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano; por eso el coseno de aquel se convierte en el seno de este.



${\vec{v}}_r=(-2,2,-6){\vec{n}}_{\pi }=(-3,4,0)$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=(-2)(-3)+2\cdot 4+(-6)\cdot 0=6+8=14$

$\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}\mid {\vec{n}}_{\pi }\mid =\sqrt{9+16+0}=5$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{14}{2\sqrt{11}\cdot 5}}={\displaystyle \frac{7}{5\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{7\sqrt{11}}{55}}\approx \mathrm{0,4221}$

$\alpha =\arcsin \left(\mathrm{0,4221}\right)\approx {24}^{\circ }{58}^{\mathrm{\prime }}$

La recta $r$ y el plano forman un ángulo de, aproximadamente, ${24}^{\circ }{58}^{\mathrm{\prime }}$.