Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Consideremos el punto $A(1,2,1)$, y la recta $r:\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 3y+z=14\end{array}$

a) Encuentre la ecuación del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y es perpendicular a la recta $r$. [1,5 puntos]

b) Consideremos $P(1,4,2)$, un punto de la recta $r$. Y sea $s$ la recta determinada por los puntos $A$ y $P$. Calcule el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de esta es su vector normal; con eso y el punto queda determinado. Como $r$ viene dada como intersección de dos planos, su director es el producto vectorial de las normales.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\mid =(1,-1,3)$

$\pi :x-y+3z+D=0$

$A(1,2,1)\in \pi \Rightarrow 1-2+3+D=0\Rightarrow D=-2$

El plano pedido es $\pi :x-y+3z-2=0$.



Comprobamos primero que $P$ está en $r$, como afirma el enunciado, y obtenemos el vector director de $s$ uniendo los dos puntos.

$P(1,4,2):1+4=5;3\cdot 4+2=14$

${\vec{v}}_s=\overrightarrow{AP}=(1,4,2)-(1,2,1)=(0,2,1)$











El ángulo que forman dos rectas es el que forman sus vectores directores, tomado siempre agudo; de ahí el valor absoluto en el producto escalar.

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{v}}_s\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{v}}_s\mid }}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0-2+3\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+1+9}\cdot \sqrt{0+4+1}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{5}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{55}}}\approx \mathrm{0,1348}$

$\alpha =\arccos (\mathrm{0,1348})\approx {82}^{\circ }{15}^{\mathrm{\prime }}{2}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$





Las rectas $r$ y $s$ se cortan en $P$ formando un ángulo de, aproximadamente, ${82}^{\circ }{15}^{\mathrm{\prime }}$.