Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Consideremos la recta $r:\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 3x-4z=-1\end{array}$, y el plano ${\pi }_1\equiv x-y+3z=12$

a) Calcule la ecuación del plano ${\pi }_2$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano ${\pi }_1$. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que la recta $r$ corta el plano ${\pi }_1$, averigüe el punto de intersección. [1,25 puntos]

Que ${\pi }_2$ sea perpendicular a ${\pi }_1$ equivale a que contenga la dirección del vector normal de ${\pi }_1$. Junto con el director de $r$, esos son sus dos vectores directores, y su producto vectorial da el vector normal de ${\pi }_2$.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 0\\ 3& 0& -4\end{array}\mid =(4,8,3),{\vec{n}}_1=(1,-1,3)$

${\vec{n}}_2={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_1=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 4& 8& 3\\ 1& -1& 3\end{array}\mid =(27,-9,-12)$

Dividiendo entre 3, ${\vec{n}}_2=(9,-3,-4)$. Para un punto de $r$ tomamos $x=1$: de la primera ecuación $y=-3$ y de la segunda $z=1$.

$P_r(1,-3,1):2+3=5;3-4=-1$

${\pi }_2:9x-3y-4z+D=0$

$P_r(1,-3,1)\in {\pi }_2\Rightarrow 9+9-4+D=0\Rightarrow D=-14$



Comprobamos la perpendicularidad de los dos planos, que se traduce en que sus normales sean ortogonales:

${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=9+3-12=0$

El plano pedido es ${\pi }_2:9x-3y-4z-14=0$.



Escribimos $r$ en paramétricas con el punto y el vector director del apartado anterior, y llevamos su punto genérico a la ecuación del plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=1+4\lambda \\ y=-3+8\lambda \\ z=1+3\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

$(1+4\lambda )-(-3+8\lambda )+3(1+3\lambda )=1+4\lambda +3-8\lambda +3+9\lambda =5\lambda +7$

$5\lambda +7=12\Rightarrow \lambda =1$

Comprobamos el punto en la ecuación del plano:

$5-5+3\cdot 4=12$

La recta $r$ corta al plano ${\pi }_1$ en el punto $(5,5,4)$.