Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dado el plano $\pi :-x+3y+2z+5=0$ y las rectas secantes $r:{\displaystyle \frac{x-5}{2}}=y+2=1-z$ y $s:{\displaystyle \frac{x+1}{6}}={\displaystyle \frac{y}{-2}}=z$

a) Sea $A$ el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. Halle la ecuación de la recta que es perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por $A$. [1,5 puntos]

b) Calcule el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathit{A}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos las dos rectas en paramétricas y buscamos los valores de los parámetros que hacen coincidir sus puntos genéricos; el enunciado ya avisa de que son secantes, así que el sistema tendrá solución.

$r:\{\begin{array}{l}x=5+2\lambda \\ y=-2+\lambda \\ z=1-\lambda \end{array}s:\{\begin{array}{l}x=-1+6\mu \\ y=-2\mu \\ z=\mu \end{array}$

De la tercera coordenada, $\mu =1-\lambda$; llevándolo a la segunda:

$-2+\lambda =-2(1-\lambda )\Rightarrow -2+\lambda =-2+2\lambda \Rightarrow \lambda =0$

$\mu =1-0=1$

Comprobamos la primera coordenada con esos valores:

$5+2\cdot 0=5;-1+6\cdot 1=5$

$A(5,-2,1)$

La recta buscada pasa por $A$ y, por ser perpendicular al plano, tiene como vector director el normal de $\pi$.

${\vec{n}}_{\pi }=(-1,3,2)$

$t:\{\begin{array}{l}x=5-\nu \\ y=-2+3\nu \\ z=1+2\nu \end{array}\nu \in \mathbb{R}$

La recta perpendicular a $\pi$ por el punto de corte de $r$ y $s$ pasa por $A(5,-2,1)$ y tiene vector director $(-1,3,2)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El ángulo que forman dos rectas secantes es el que forman sus vectores directores, tomado siempre agudo; de ahí el valor absoluto en el producto escalar.











${\vec{v}}_r=(2,1,-1),{\vec{v}}_s=(6,-2,1)$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{v}}_s\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{v}}_s\mid }}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }12-2-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{4+1+1}\cdot \sqrt{36+4+1}}}={\displaystyle \frac{9}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{41}}}$

$={\displaystyle \frac{9}{\sqrt{246}}}\approx \mathrm{0,5738}$

$\alpha =\arccos (\mathrm{0,5738})\approx {54}^{\circ }{58}^{\mathrm{\prime }}{59}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$





Las rectas $r$ y $s$ se cortan en $A$ formando un ángulo de, aproximadamente, ${54}^{\circ }{59}^{\mathrm{\prime }}$.