Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dadas las rectas siguientes $r:\{\begin{array}{l}x+y-z=4\\ x+2y=7\end{array}$, $s:\{\begin{array}{l}x=2\\ y+5=0\end{array}$

a) Estudie la posición relativa de $r$ y $s$. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$, y que contiene el punto $A(11,-2,5)$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se comparan primero los vectores directores y, si no son proporcionales, se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta: si se anula, las rectas se cortan; si no, se cruzan. Las dos vienen como intersección de planos, así que sus directores son los productos vectoriales de las normales.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 0\end{array}\mid =(2,-1,1)$

${\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =(0,0,1)$

Los directores no son proporcionales, luego las rectas no son paralelas. Buscamos un punto de cada una haciendo $z=0$.

$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x+2y=7\end{array}\Rightarrow x=1,y=3\Rightarrow P_r(1,3,0)$

De $s$ se lee directamente $x=2$ e $y=-5$, con $z$ libre.

$P_s(2,-5,0)$

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(2,-5,0)-(1,3,0)=(1,-8,0)$

$\mid \begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& -8& 0\end{array}\mid =0-1+0-0+16-0=15\mathrm{\ne }0$



El producto mixto no se anula, de modo que los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.



Si el plano es perpendicular a $r$, el vector director de la recta es su vector normal; con eso y el punto queda determinado.

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r=(2,-1,1)$

$\pi :2x-y+z+D=0$

$A(11,-2,5)\in \pi \Rightarrow 22+2+5+D=0\Rightarrow D=-29$

El plano pedido es $\pi :2x-y+z-29=0$.