Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones con un parámetro $k$:

$\begin{array}{r}kx-y-z=1\\ x+ky+2kz=k\\ x+y+z=-1\end{array}\}$

a) Discuta la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que pueda tomar el parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para $k=1$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{resoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{tomar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

$A=\left(\begin{array}{ccc}k& -1& -1\\ 1& k& 2k\\ 1& 1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}k& -1& -1& 1\\ 1& k& 2k& k\\ 1& 1& 1& -1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=k^2-2k-1-(-k+2k^2-1)=-k^2-k=-k(k+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=0\\ k=-1\end{array}$

Si $k\mathrm{\ne }0$ y $k\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $k=0$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& -1& -1& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& -1\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

El único menor de orden 3 de $A^{\ast }$ que queda por estudiar es el que sustituye la última columna de coeficientes por la de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\mid =0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Si $k=-1$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& -1& -1& 1\\ 1& -1& -2& -1\\ 1& 1& 1& -1\end{array}\right)$

Aquí se ve a simple vista que la primera fila es la tercera cambiada de signo, término independiente incluido, así que la primera ecuación no aporta nada nuevo.

$\mid \begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\mid =1+1=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

y el sistema vuelve a ser compatible indeterminado.

Finalmente, el sistema es compatible determinado para todo $k$ distinto de 0 y de $-1$, y compatible indeterminado para esos dos valores. No es incompatible para ningún valor del parámetro.



Como $1\mathrm{\ne }0$ y $1\mathrm{\ne }-1$, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}x-y-z=1\\ x+y+2z=1\\ x+y+z=-1\end{array}$

Restando la tercera ecuación de la segunda queda despejada una incógnita:

$(x+y+2z)-(x+y+z)=1-(-1)\Rightarrow z=2$

Sustituyendo $z=2$ en la primera y en la tercera:

$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x+y=-3\end{array}$

$(x-y)+(x+y)=3-3\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

$y=-3-x=-3$

Comprobamos en la segunda ecuación, que no se ha usado para despejar:

$0+(-3)+2\cdot 2=1$

Para $k=1$ la solución del sistema es $x=0$, $y=-3$, $z=2$.