Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{array}{r}kx+2y+6z=0\\ 2x+ky+4z=2\\ 2x+ky+6z=k-2\end{array}\}$

a) Discuta el sistema según los valores del parámetro $k$. [1,75 puntos]

b) Resuelva el sistema para $k=0$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

$A=\left(\begin{array}{ccc}k& 2& 6\\ 2& k& 4\\ 2& k& 6\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}k& 2& 6& 0\\ 2& k& 4& 2\\ 2& k& 6& k-2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=6k^2+16+12k-(12k+4k^2+24)=2k^2-8=2(k-2)(k+2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=2\\ k=-2\end{array}$

Si $k\mathrm{\ne }2$ y $k\mathrm{\ne }-2$, entonces $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $k=2$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 2& 6& 0\\ 2& 2& 4& 2\\ 2& 2& 6& 0\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila son idénticas, término independiente incluido, así que la tercera ecuación es superflua y las dos matrices tienen el mismo rango.

$\mid \begin{array}{cc}2& 6\\ 2& 4\end{array}\mid =8-12=-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

y el sistema es compatible indeterminado.

Si $k=-2$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-2& 2& 6& 0\\ 2& -2& 4& 2\\ 2& -2& 6& -4\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}-2& 6\\ 2& 4\end{array}\mid =-8-12=-20\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}-2& 6& 0\\ 2& 4& 2\\ 2& 6& -4\end{array}\mid =32+24+0-(0-24-48)=128\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Finalmente, el sistema es compatible determinado para todo $k$ distinto de 2 y de $-2$, compatible indeterminado para $k=2$ e incompatible para $k=-2$.



Como $0\mathrm{\ne }2$ y $0\mathrm{\ne }-2$, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}2y+6z=0\\ 2x+4z=2\\ 2x+6z=-2\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la tercera desaparece $x$:

$(2x+6z)-(2x+4z)=-2-2\Rightarrow 2z=-4\Rightarrow z=-2$

$2x+4(-2)=2\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$

$2y+6(-2)=0\Rightarrow 2y=12\Rightarrow y=6$

Comprobamos en la tercera ecuación:

$2\cdot 5+6\cdot (-2)=10-12=-2$

Para $k=0$ la solución del sistema es $x=5$, $y=6$, $z=-2$.