Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta y resuelva (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\begin{array}{rcrcl}ax& +& y& =& 1\\ x& +& ay& =& a\\ ax& +& 2y& =& 1\end{array}\}$

[2 puntos]

Es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, de modo que la matriz de coeficientes tiene orden $3\times 2$ y su rango vale como mucho dos. Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& a\\ a& 2\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& a\\ a& 2& 1\end{array}\right)$

Como $M^{\ast }$ es cuadrada, empezamos por su determinante:

$\mathrm{\mid }{M}^{\ast }\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& a\\ a& 2& 1\end{array}\mid =a^2+a^2+2-a^2-2a^2-1=1-a^2$

$1-a^2=0\Rightarrow a=\pm 1$

Comprobamos además que $\mathrm{ran}(M)=2$ sea cual sea $a$: los tres menores de orden dos son $a^2-1$, $a$ y $2-a^2$, y no pueden anularse los tres a la vez.

Si $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{ran}(M^{\ast })=3\mathrm{\ne }2=\mathrm{ran}(M)$ y el sistema es incompatible.

Para $a=1$ el sistema es:

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x+y=1\\ x+2y=1\end{array}\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

El sistema es compatible determinado. Restando la primera ecuación de la tercera:

$y=0\Rightarrow x=1\Rightarrow (x,y)=(1,0)$

Para $a=-1$ el sistema es:

$\{\begin{array}{l}-x+y=1\\ x-y=-1\\ -x+2y=1\end{array}\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 2\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

También es compatible determinado. Restando la primera de la tercera:

$y=0\Rightarrow -x=1\Rightarrow x=-1\Rightarrow (x,y)=(-1,0)$

En resumen: el sistema es incompatible para todo $a$ distinto de $1$ y $-1$; para $a=1$ tiene la única solución $(1,0)$ y para $a=-1$ la única solución $(-1,0)$.