Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{array}{rcrcrcl}x& +& \lambda y& -& z& =& 1\\ -\lambda x& +& y& & & =& \lambda \\ & & (\lambda +3)y& -& 2z& =& 4\end{array}\}$

[2 puntos]

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Empezamos por el determinante de la primera.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& \lambda & -1\\ -\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda +3& -2\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& \lambda & -1& 1\\ -\lambda & 1& 0& \lambda \\ 0& \lambda +3& -2& 4\end{array}\right)$

Desarrollamos por la primera columna, que tiene un cero:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ \lambda +3& -2\end{array}\mid +\lambda \mid \begin{array}{cc}\lambda & -1\\ \lambda +3& -2\end{array}\mid =-2+\lambda (-2\lambda +\lambda +3)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-2+\lambda (3-\lambda )=-{\lambda }^2+3\lambda -2=-(\lambda -1)(\lambda -2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =1\\ \lambda =2\end{array}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }1$ y $\lambda \mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda =1$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ -1& 1& 0& 1\\ 0& 4& -2& 4\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes para ver el rango de la ampliada:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 1& 1\\ 0& 4& 4\end{array}\mid =0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. La tercera ecuación es, de hecho, la suma de las dos primeras multiplicada por dos.

Para $\lambda =2$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ -2& 1& 0& 2\\ 0& 5& -2& 4\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\mid =5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& 1& 2\\ 0& 5& 4\end{array}\mid =4+0-10-0-10+16=0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

También aquí el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $\lambda$ distinto de $1$ y $2$, y compatible indeterminado —con infinitas soluciones dependientes de un parámetro— para esos dos valores. No es incompatible para ningún valor de $\lambda$.