Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema

$\{\begin{array}{l}\phantom{(k-1)x+}y+z=1\\ (k-1)x+y+z=k\\ x+(k-1)y+z=0\end{array}$

a) Discuta el sistema según los valores de $k$. [1,75 puntos]

b) Para $k=1$ resuelva el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que $y=0$? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Discutimos el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Empezamos anulando el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ k-1& 1& 1\\ 1& k-1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ k-1& 1& 1& k\\ 1& k-1& 1& 0\end{array}\right)$

Desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1\cdot [(k-1)-1]+[(k-1{)}^2-1]=k^2-3k+2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow (k-1)(k-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=1\\ k=2\end{array}$

Si $k\mathrm{\ne }1$ y $k\mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Si $k=1$, la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)$

Las dos primeras filas son idénticas también en el término independiente, y el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$ formado con la primera y la tercera fila garantiza que

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado.

Si $k=2$, la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 2\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right)$

Las dos últimas filas coinciden en la matriz de coeficientes pero no en el término independiente, luego

$\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })$

y el sistema es incompatible.

El sistema es compatible determinado para $k\mathrm{\ne }1,2$; compatible indeterminado para $k=1$, e incompatible para $k=2$.



Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, así que se descarta la ecuación repetida y se toma una incógnita como parámetro.

$\{\begin{array}{l}y+z=1\\ x+z=0\end{array}$

$z=\lambda \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-\lambda \\ y=1-\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Para responder a la segunda pregunta basta imponer $y=0$ en la solución general:

$1-\lambda =0\Rightarrow \lambda =1$

El sistema tiene infinitas soluciones, $(x,y,z)=(-\lambda ,1-\lambda ,\lambda )$, y entre ellas sí hay una con $y=0$: la que se obtiene para $\lambda =1$, es decir, $(x,y,z)=(-1,0,1)$.