Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón.

El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora.

¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora? [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{botellas,}}\mathbf{\text{garrafas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{bidones}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{hora?}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de botellas, $y$ al de garrafas y $z$ al de bidones fabricados en una hora. Trabajamos en gramos para no mezclar unidades: los $10$ kg de polietileno son $10000$ gramos.

$\{\begin{array}{l}50x+100y+1000z=10000\\ x=2y\\ x+y+z=52\end{array}$

Sustituimos la segunda condición en la tercera y despejamos $z$:

$2y+y+z=52\Rightarrow z=52-3y$

Llevamos ambas expresiones a la ecuación del polietileno:

$50\cdot 2y+100y+1000(52-3y)=10000$

$100y+100y+52000-3000y=10000$

$-2800y=-42000\Rightarrow y=15$

$x=2\cdot 15=30;z=52-45=7$

Comprobamos las tres condiciones: el consumo es $50\cdot 30+100\cdot 15+1000\cdot 7=1500+1500+7000=10000$ gramos; las botellas son el doble de las garrafas, y el total es $30+15+7=52$ productos.

Cada hora se producen $30$ botellas, $15$ garrafas y $7$ bidones.