Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una heladería vende helados de una, dos y tres bolas a uno, dos y tres euros, respectivamente. El viernes ha vendido 157 helados obteniendo 278 euros. También sabemos que el número de helados de una bola vendidos es $k$ veces el número de helados de tres bolas, con $k>0$.

a) [1,25 puntos] Plantee un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita determinar el número de helados vendidos de cada tipo.

b) [1,25 puntos] Estudie para qué valores del parámetro $k$ el sistema tiene solución única. Para los casos en los que el sistema tiene solución única, ¿es posible que en alguno de ellos se hayan vendido el mismo número de helados de una bola que de tres bolas? Justifique su respuesta.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{resoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{helados}}\mathbf{\text{vendidos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo.}}$

Llamamos $x$ al número de helados de una bola, $y$ al de dos bolas y $z$ al de tres bolas. Traducimos a ecuaciones los tres datos del enunciado.

i) El viernes se vendieron $157$ helados en total:

$x+y+z=157$

ii) A uno, dos y tres euros la unidad se recaudaron $278$ euros:

$x+2y+3z=278$

iii) Los de una bola son $k$ veces los de tres bolas:

$x=k\cdot z\Rightarrow x-kz=0$

El sistema pedido es

$\{\begin{array}{l}x+y+z=157\\ x+2y+3z=278\\ x\phantom{+2y}-kz=0\end{array},k>0$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{k}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica.}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{casos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{hayan}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{helados}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{bolas?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Hay solución única cuando la matriz de coeficientes es regular, así que anulamos su determinante.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 0& -k\end{array}\mid =-2k+3+0-2+0+k=1-k$

$1-k=0\Rightarrow k=1$

Por tanto, si $k\mathrm{\ne }1$ el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Para $k=1$ el rango de la matriz de coeficientes baja a $2$, mientras que la ampliada conserva rango $3$, porque la tercera fila de coeficientes es $2F_1-F_2$ y en cambio $2\cdot 157-278=36\mathrm{\ne }0$: el sistema resulta incompatible.

Resolviendo el sistema para $k\mathrm{\ne }1$ se obtiene

$x={\displaystyle \frac{36k}{k-1}},y={\displaystyle \frac{121k-193}{k-1}},z={\displaystyle \frac{36}{k-1}}$

La pregunta final se contesta sin necesidad de esa expresión. Que se hayan vendido tantos helados de una bola como de tres significa $x=z$, y la tercera ecuación dice que $x=kz$.

$x=z\text{ y }x=kz\Rightarrow kz=z\Rightarrow (k-1)z=0$

Como $z=\frac{36}{k-1}\mathrm{\ne }0$, la igualdad obliga a $k=1$, que es justamente el valor para el que no hay solución única (de hecho no hay ninguna).

No es posible: en todos los casos de solución única se tiene $k\mathrm{\ne }1$ y, por tanto, $x\mathrm{\ne }z$.