Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el sistema de ecuaciones lineales $\{\begin{array}{l}-2x+y-z=-1\\ -x+a\cdot y+z=2\\ 2x+y+a\cdot z=3\end{array}$, con $a\in \mathbb{R}$.

a) [1,75 puntos] Discuta cómo es el sistema en función de los valores del parámetro $a$.

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=2$, si es posible.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ -1& a& 1\\ 2& 1& a\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& -1& -1\\ -1& a& 1& 2\\ 2& 1& a& 3\end{array}\right)$

Anulamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ -1& a& 1\\ 2& 1& a\end{array}\mid =-2a^2+2+1+2a-1+2a+2=-2a^2+3a+5$

$-2a^2+3a+5=0\Rightarrow 2a^2-3a-5=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9+40}}{4}}={\displaystyle \frac{3\pm 7}{4}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ a=-1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }-1$ y $a\mathrm{\ne }\frac{5}{2}$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado, con solución única.

Si $a=-1$, la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& -1& -1\\ -1& -1& 1& 2\\ 2& 1& -1& 3\end{array}\right)$

El menor $\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& -1\end{array}\mid =2+1=3\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, de modo que $\mathrm{ran}(A)=2$. Orlando ese menor con la columna de términos independientes,

$\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ -1& -1& 2\\ 2& 1& 3\end{array}\mid =6+4+1-2+4+3=16\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Como $2\mathrm{\ne }3$, el sistema es incompatible.

Si $a=\frac{5}{2}$, procedemos igual. El menor $\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& \frac{5}{2}\end{array}\mid =-5+1=-4\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{ran}(A)=2$, y orlándolo con los términos independientes,

$\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ -1& \frac{5}{2}& 2\\ 2& 1& 3\end{array}\mid =-15+4+1+5+4+3=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

y el sistema vuelve a ser incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado para $a\mathrm{\ne }-1$ y $a\mathrm{\ne }\frac{5}{2}$, e incompatible para $a=-1$ y para $a=\frac{5}{2}$. Nunca es compatible indeterminado.



Como $2\mathrm{\ne }-1$ y $2\mathrm{\ne }\frac{5}{2}$, sí es posible: el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\{\begin{array}{l}-2x+y-z=-1\\ -x+2y+z=2\\ 2x+y+2z=3\end{array},\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2\cdot 2^2+3\cdot 2+5=3$

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 2& 2& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\mid }{3}}={\displaystyle \frac{-4+3-2+6+1-4}{3}}={\displaystyle \frac{0}{3}}=0$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ -1& 2& 1\\ 2& 3& 2\end{array}\mid }{3}}={\displaystyle \frac{-8-2+3+4+6-2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ -1& 2& 2\\ 2& 1& 3\end{array}\mid }{3}}={\displaystyle \frac{-12+4+1+4+4+3}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

La solución para $a=2$ es $x=0$, $y={\displaystyle \frac{1}{3}}$, $z={\displaystyle \frac{4}{3}}$.