Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) [1,5 puntos] Tres lápices, un cuaderno y una agenda han costado 5 euros, lo mismo que dos cuadernos y una agenda. ¿Podemos saber el precio de cada artículo si ninguno es gratis y en céntimos todos son múltiplos de 50?

b) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{x+1}{x}}\right)}^{\frac{x^2+1}{x}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Tres}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{pices,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuaderno}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{agenda}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{costado}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cuadernos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{agenda.}}\mathbf{\text{¿Podemos}}\mathbf{\text{saber}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ninguno}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{gratis}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntimos}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{ltiplos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50?}}$

Llamamos $x$ al precio del lápiz, $y$ al del cuaderno y $z$ al de la agenda, en euros. Los dos datos dan un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.

$\{\begin{array}{l}3x+y+z=5\\ 2y+z=5\end{array}$

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\mid =1-2=-1\mathrm{\ne }0$

Luego $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$: el sistema es compatible indeterminado y, como sistema, tiene infinitas soluciones. Las obtenemos tomando $z$ como parámetro.

$2y+z=5\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5-z}{2}}$

$3x+{\displaystyle \frac{5-z}{2}}+z=5\Rightarrow 3x=5-{\displaystyle \frac{5-z}{2}}-z={\displaystyle \frac{10-5+z-2z}{2}}={\displaystyle \frac{5-z}{2}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5-z}{6}}$

Aquí entran las condiciones del enunciado, que son las que reducen las infinitas soluciones a una sola: los tres precios han de ser positivos y múltiplos de $\mathrm{0,50}\text{ €}$.

Como $x=\frac{5-z}{6}>0$ y ha de ser múltiplo de $\mathrm{0,5}$, el menor valor posible es $x=\mathrm{0,5}$, que da $5-z=3$, es decir, $z=2$. El siguiente, $x=1$, exigiría $5-z=6$, o sea $z=-1<0$, imposible. No hay más casos.

$x=\mathrm{0,5}\Rightarrow z=2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5-2}{2}}=\mathrm{1,5}$

Sí podemos: el lápiz cuesta $\mathrm{0,50}\text{ €}$, el cuaderno $\mathrm{1,50}\text{ €}$ y la agenda $2\text{ €}$. Se comprueba que $3\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{1,5}+2=5$ y $2\cdot \mathrm{1,5}+2=5$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite:}}$



La base tiende a $1$ y el exponente a $+\mathrm{\infty }$, de modo que estamos ante una indeterminación del tipo $1^{\mathrm{\infty }}$. Aplicamos la regla correspondiente al número $e$:

$\lim {[f(x)]}^{g(x)}=e^{\lim g(x)[f(x)-1]}$

${\displaystyle \frac{x+1}{x}}-1={\displaystyle \frac{x+1-x}{x}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2}}=1$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{x+1}{x}}\right)}^{\frac{x^2+1}{x}}=e^1=e$

El límite vale $e\approx \mathrm{2,7183}$.