Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}ax+2y+z=1\\ 2x+ay+z=a\\ 5x+2y+z=1\end{array}$

a) [1,5 puntos] Discuta el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Resuelva, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{identifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso.}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 1\\ 2& a& 1\\ 5& 2& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}a& 2& 1& 1\\ 2& a& 1& a\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

Quien manda en la discusión es el rango de $A$, así que empezamos anulando su determinante.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 2& 1\\ 2& a& 1\\ 5& 2& 1\end{array}\mid =a^2+10+4-5a-2a-4=a^2-7a+10$

$a^2-7a+10=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{49-40}}{2}}={\displaystyle \frac{7\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=5\\ a=2\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }5$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Si $a=2$, la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 2& 1& 1\\ 2& 2& 1& 2\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

En $A$ el menor $\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 5& 2\end{array}\mid =4-10=-6\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, de modo que $\mathrm{ran}(A)=2$. Orlando ese menor con la columna de términos independientes,

$\mid \begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 2& 2& 2\\ 5& 2& 1\end{array}\mid =4+20+4-10-8-4=6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Como $\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })$, el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución. Se ve directamente en las dos primeras ecuaciones, que tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente.

Si $a=5$, la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}5& 2& 1& 1\\ 2& 5& 1& 5\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

Ahora la primera y la tercera filas son iguales, de forma que solo quedan dos filas linealmente independientes tanto en $A$ como en $A^{\ast }$. Además $\mid \begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 5\end{array}\mid =25-4=21\mathrm{\ne }0$, luego

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

En resumen: para $a\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }5$ hay solución única; para $a=2$ no hay ninguna solución; y para $a=5$ hay infinitas soluciones dependientes de un parámetro.



Para $a=1$ estamos en el caso general del apartado anterior, así que el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=1\\ 2x+y+z=1\\ 5x+2y+z=1\end{array},\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1^2-7\cdot 1+10=4$

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\mid }{4}}={\displaystyle \frac{0}{4}}=0$

El determinante del numerador es nulo porque su primera y su tercera filas son iguales.

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 1\\ 5& 1& 1\end{array}\mid }{4}}={\displaystyle \frac{1+5+2-5-1-2}{4}}={\displaystyle \frac{0}{4}}=0$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 5& 2& 1\end{array}\mid }{4}}={\displaystyle \frac{1+10+4-5-2-4}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}=1$

La solución del sistema para $a=1$ es $x=0$, $y=0$, $z=1$.