Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El 60 % de los coches blancos más el 50 % de los coches negros representan el 30 % de los coches vendidos. El 20 % de los coches blancos junto con el 60 % de los coches negros y el 60 % de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determine el número de coches vendidos de cada color. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coches}}\mathbf{\text{vendidos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{color.}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de coches blancos, $y$ al de negros y $z$ al de rojos, de modo que el total vendido es $x+y+z$. Cada frase del enunciado se traduce en una ecuación.

$\{\begin{array}{l}\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,5}y=\mathrm{0,3}(x+y+z)\\ \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}y+\mathrm{0,6}z=\mathrm{0,5}(x+y+z)\\ y=x+100\end{array}$

Multiplicamos por $10$ las dos primeras y agrupamos términos:

$6x+5y=3x+3y+3z\Rightarrow 3x+2y-3z=0$

$2x+6y+6z=5x+5y+5z\Rightarrow -3x+y+z=0$

De esta última despejamos $z$:

$z=3x-y$

y lo llevamos a la primera:

$3x+2y-3(3x-y)=0\Rightarrow -6x+5y=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{6x}{5}}$

Usamos por último la tercera condición del enunciado:

${\displaystyle \frac{6x}{5}}=x+100\Rightarrow 6x=5x+500\Rightarrow x=500$

$y=500+100=600;z=3\cdot 500-600=900$

Comprobamos el resultado en la primera condición, con un total de $2000$ coches:

$\mathrm{0,6}\cdot 500+\mathrm{0,5}\cdot 600=300+300=600=\mathrm{0,3}\cdot 2000$

Se han vendido $500$ coches blancos, $600$ negros y $900$ rojos, $2000$ en total.