Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6 %, el 12 % y el 30 %, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcule el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe,}}\mathbf{\text{incluyendo}}\mathbf{\text{impuestos,}}\mathbf{\text{invertido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{bebidas.}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al importe en euros de refrescos, cerveza y vino sin incluir impuestos. Cada frase del enunciado da una ecuación, y al final habrá que aplicar los porcentajes para responder a lo que se pregunta, que son los importes con impuestos.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=500\\ z=x+y-60\\ \mathrm{1,06}x+\mathrm{1,12}y+\mathrm{1,30}z=\mathrm{592,4}\end{array}$

De la primera ecuación, $x+y=500-z$, y sustituyendo en la segunda se despeja el vino de inmediato:

$z=(500-z)-60\Rightarrow 2z=440\Rightarrow z=220$

$x+y=500-220=280$

Llevamos $z=220$ a la tercera ecuación:

$\mathrm{1,06}x+\mathrm{1,12}y+\mathrm{1,30}\cdot 220=\mathrm{592,4}\Rightarrow \mathrm{1,06}x+\mathrm{1,12}y=\mathrm{306,4}$

Sustituimos $y=280-x$:

$\mathrm{1,06}x+\mathrm{1,12}(280-x)=\mathrm{306,4}\Rightarrow -\mathrm{0,06}x=-\mathrm{7,2}\Rightarrow x=120$

$y=280-120=160$

Aplicamos por último a cada importe su porcentaje de impuestos, que es lo que pide el enunciado:

$120\cdot \mathrm{1,06}=\mathrm{127,2};160\cdot \mathrm{1,12}=\mathrm{179,2};220\cdot \mathrm{1,30}=286$

Comprobamos que la suma reproduce la factura: $\mathrm{127,2}+\mathrm{179,2}+286=\mathrm{592,4}$.

Impuestos incluidos, se invirtieron $\mathrm{127,2}$ euros en refrescos, $\mathrm{179,2}$ euros en cerveza y $286$ euros en vino.