Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema

$\{\begin{array}{l}x-y+mz=-3\\ -mx+3y-z=1\\ x-4y+mz=-6\end{array}$

a) Discuta el sistema según los valores de $m$. [1,75 puntos]

b) Para $m=2$ resuelva el sistema, si es posible. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada. Empezamos anulando el determinante.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& m\\ -m& 3& -1\\ 1& -4& m\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& m& -3\\ -m& 3& -1& 1\\ 1& -4& m& -6\end{array}\right)$

Desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(3m-4)+(-m^2+1)+m(4m-3)=3m^2-3$

$3(m-1)(m+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }\pm 1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Si $m=1$, el menor $\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{ran}(A)=2$. Orlamos con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ -1& 3& 1\\ 1& -4& -6\end{array}\mid =-12\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

Si $m=-1$, el menor $\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 3\end{array}\mid =4\mathrm{\ne }0$ da de nuevo $\mathrm{ran}(A)=2$, pero ahora el orlado se anula:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 1& 3& 1\\ 1& -4& -6\end{array}\mid =0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema es compatible determinado para $m\mathrm{\ne }\pm 1$; incompatible para $m=1$, y compatible indeterminado para $m=-1$.



Por el apartado anterior el sistema es compatible determinado, con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3\cdot 4-3=9\mathrm{\ne }0$, luego tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}x-y+2z=-3\\ -2x+3y-z=1\\ x-4y+2z=-6\end{array}$

Restando la tercera ecuación de la primera desaparecen $x$ y $z$ de golpe:

$3y=3\Rightarrow y=1$

Sustituimos en la primera y en la segunda:

$x+2z=-2;-2x-z=-2\Rightarrow z=2-2x$

$x+2(2-2x)=-2\Rightarrow -3x=-6\Rightarrow x=2$

$z=2-4=-2$

Comprobamos en la tercera ecuación: $2-4\cdot 1+2\cdot (-2)=-6$.

Para $m=2$ la solución del sistema es $(x,y,z)=(2,1,-2)$.