Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1250 euros.

a) ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C? [1,25 puntos]

b) Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tendremos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pagar}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pedido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{perfumes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{perfumes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{16}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{C?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$, $y$, $z$ al precio en euros de una unidad de cada tipo. Los dos pedidos dan dos ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}20x+30y+15z=2200\\ 15x+10y+10z=1250\end{array}$

Con dos ecuaciones y tres incógnitas los precios no quedan determinados, pero el pedido que se pregunta sí puede calcularse si su vector de cantidades es combinación lineal de los otros dos. Buscamos $\alpha$ y $\beta$ tales que

$\alpha (20,30,15)+\beta (15,10,10)=(25,10,16)$

De las dos primeras coordenadas:

$\{\begin{array}{l}20\alpha +15\beta =25\\ 30\alpha +10\beta =10\end{array}\Rightarrow \alpha =-{\displaystyle \frac{2}{5}},\beta ={\displaystyle \frac{11}{5}}$

Comprobamos que la tercera coordenada también se cumple, que es lo que garantiza que el importe está determinado:

$15(-{\displaystyle \frac{2}{5}})+10\cdot {\displaystyle \frac{11}{5}}=-6+22=16$

El importe del nuevo pedido es entonces la misma combinación de los dos importes conocidos:

$-{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot 2200+{\displaystyle \frac{11}{5}}\cdot 1250=-880+2750=1870$

Por el pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 16 de tipo C habrá que pagar $1870$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{adimos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{perfume}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{C}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mstyle\; scriptlevel="0"\; displaystyle="true"><mfrac><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">5</mn></mfrac></mstyle>}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{unidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{perfume?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La nueva información aporta una tercera ecuación, con lo que el sistema pasa a tener solución única. Sustituimos $z=\frac{2}{5}x$ en las dos ecuaciones anteriores.

$20x+30y+15\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}x=2200\Rightarrow 26x+30y=2200$

$15x+10y+10\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}x=1250\Rightarrow 19x+10y=1250$

Multiplicamos la segunda por $3$ y restamos para eliminar $y$:

$57x+30y=3750$

$57x-26x=3750-2200\Rightarrow 31x=1550\Rightarrow x=50$

$19\cdot 50+10y=1250\Rightarrow 10y=300\Rightarrow y=30$

$z={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot 50=20$

Comprobamos el resultado en el primer pedido: $20\cdot 50+30\cdot 30+15\cdot 20=1000+900+300=2200$.

Un perfume de tipo A cuesta $50$ euros, uno de tipo B cuesta $30$ euros y uno de tipo C cuesta $20$ euros.