Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta el sistema $\begin{array}{rcl}x+y+z& =& 2a-1\\ 2x+y+az& =& a\\ x+ay+z& =& 1\end{array}\}$ para los distintos valores del parámetro $a\in \mathbb{R}$. [1,5 puntos]

Resuelva el sistema en el caso $a=1$. [0,5 puntos]

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Empezamos por el determinante de la primera.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& a\\ 1& a& 1\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2a-1\\ 2& 1& a& a\\ 1& a& 1& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=1+a+2a-1-a^2-2=-a^2+3a-2=-(a-1)(a-2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=2\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Para $a=1$ la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila son idénticas. Como

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

resulta $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Para $a=2$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 2& 1& 2& 2\\ 1& 2& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos el menor anterior con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\mid =1+2+12-3-4-2=6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

Como los rangos no coinciden, para $a=2$ el sistema es incompatible.



Para $a=1$ la tercera ecuación repite a la primera, así que basta resolver las dos primeras tomando una incógnita como parámetro.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x+y+z=1\end{array}$

Restando la primera de la segunda desaparecen $y$ y $z$:

$x=0$

$y+z=1\Rightarrow z=\lambda \Rightarrow y=1-\lambda$

Las soluciones del sistema para $a=1$ son los infinitos puntos de la recta $(x,y,z)=(0,1-\lambda ,\lambda )$, con $\lambda$ recorriendo los números reales.