Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una pequeña bombonería tiene en su almacén 24 kg de chocolate y 60 litros de leche, con los que elabora tres productos distintos: cajas de bombones, tabletas de chocolate y paquetes de chocolate en polvo. Del resto de los ingredientes se tienen reservas suficientes.

Se sabe que las cajas de bombones requieren 2 kg de chocolate y 6 litros de leche, las tabletas de chocolate requieren 4 kg de chocolate y 4 litros de leche, y cada paquete de chocolate en polvo requiere 1 kg de chocolate y 4 litros de leche. Se quiere fabricar un total de 12 unidades y con ello se consume todo el chocolate y toda la leche almacenados. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo de producto? [2,5 puntos]

Se resuelve planteando un sistema de ecuaciones lineales. Llamamos:

$x\equiv$ cajas de bombones fabricadas

$y\equiv$ tabletas de chocolate fabricadas

$z\equiv$ paquetes de chocolate en polvo fabricados

La primera condición es el número total de unidades; la segunda y la tercera dicen que se consumen exactamente los 24 kg de chocolate y los 60 litros de leche del almacén.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=12\\ 2x+4y+z=24\\ 6x+4y+4z=60\end{array}$

Dividiendo la tercera ecuación entre 2 y despejando $z$ en la primera:

$z=12-x-y$

Sustituimos en la segunda:

$2x+4y+(12-x-y)=24\Rightarrow x+3y=12$

Y en la tercera, ya simplificada a $3x+2y+2z=30$:

$3x+2y+2(12-x-y)=30\Rightarrow 3x+2y+24-2x-2y=30\Rightarrow x=6$

$6+3y=12\Rightarrow y=2$

$z=12-6-2=4$

Comprobamos el consumo de las dos materias primas:

$2\cdot 6+4\cdot 2+4=12+8+4=24;6\cdot 6+4\cdot 2+4\cdot 4=36+8+16=60$

Deben fabricarse 6 cajas de bombones, 2 tabletas de chocolate y 4 paquetes de chocolate en polvo.