Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2024 (convocatoria ordinaria)

La empresa «Plátanos Islas Canarias» se dedica a la producción de plátanos, un cultivo muy importante en las islas. Los costes de producción están dados por la función:

$C(x)={\displaystyle \frac{3x}{5\sqrt{x^2+1}}},x\ge 0$

donde $C(x)$ son miles de euros y $x$ miles de kilos de plátanos producidos. Responda a las siguientes preguntas.

a) Averigüe el coste de la producción de un kilo de plátanos. [0,5 puntos]

b) Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes de plátanos, ¿a qué valor tenderían los costes de producción de los plátanos? [0,5 puntos]

c) Un economista afirma que superada cierta cantidad de kilos producidos, el coste de producción disminuirá. Justifique la veracidad de la afirmación del economista. [0,75 puntos]

d) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^{4}C(x)dx}$. Interprete el resultado en el contexto del problema. [0,75 puntos]

Dada la función definida por $f(x)={\displaystyle \frac{\ln (x+2)+a}{3x+4}}$:

a) Determine el valor de $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ es 10. Dé la expresión de la función. [1,25 puntos]

b) Para el valor $a=0$, estudie el dominio y las asíntotas de la función $f(x)$. [1,25 puntos]

Resuelva el siguiente sistema matricial:

$\begin{array}{r}5X-4Y=\left(\begin{array}{ccc}5& 6& -1\\ 4& -5& 1\end{array}\right)\\ 4X-6Y=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 6& -4& -2\end{array}\right)\end{array}\}$ [2,5 puntos]

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro $k\in \mathbb{R}$:

$\begin{array}{r}kx+y-3z=5\\ -x+y+z=-4\\ kx+y-kz=1\end{array}\}$

a) Discuta la resolución del sistema según los valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]

b) Resuelva el sistema cuando $k=4$. [1,25 puntos]

En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

$P(-7,3,4),r:\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ x+z+1=0\end{array},\pi :x+2y-5z+5=0$

a) Encuentre el punto $A$ intersección del plano $\pi$ con una recta $s$. Esta recta $s$ es una recta paralela a la recta $r$ y que pasa por el punto $P$. [1,5 puntos]

b) Halle el ángulo que forma la recta $r$ y el plano $\pi$. [1 punto]

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes:

$r:\{\begin{array}{l}3x+2y-z=1\\ 2x-y+z+4=0\end{array};s:\{\begin{array}{l}x=3+\lambda \\ y=\lambda \\ z=1+\lambda \end{array}$

a) Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [1,5 puntos]

b) Encuentre el plano $\pi$, paralelo a la recta $r$ y que contiene a la recta $s$. [1 punto]

En un avión de pasajeros se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, 0,96, 0,98 y 0,99.

a) Dibuje un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente. [0,75 puntos]

c) Calcule la probabilidad de que funcione algún paracaídas. [1,25 puntos]

Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale un número par.

a) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones. [1,25 puntos]

b) Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que $3\mathrm{/}4$. Justifique si esta afirmación es cierta o no. [1,25 puntos]