Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Dada la función definida por $f(x)={\displaystyle \frac{\ln (x+2)+a}{3x+4}}$:

a) Determine el valor de $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ es 10. Dé la expresión de la función. [1,25 puntos]

b) Para el valor $a=0$, estudie el dominio y las asíntotas de la función $f(x)$. [1,25 puntos]

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto, así que la condición del enunciado se traduce en $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=10$. Derivamos con la regla del cociente dejando $a$ como parámetro.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x+2}}(3x+4)-3(\ln (x+2)+a)}{(3x+4{)}^2}}$

Particularizamos en $x=-1$, donde $x+2=1$, $3x+4=1$ y $\ln 1=0$, con lo que la expresión se simplifica mucho.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{1\cdot 1-3(0+a)}{1^2}}=1-3a$

$1-3a=10\Rightarrow -3a=9\Rightarrow a=-3$

El parámetro vale $a=-3$ y la función es $f(x)={\displaystyle \frac{\ln (x+2)-3}{3x+4}}$.



$f(x)={\displaystyle \frac{\ln (x+2)}{3x+4}}$

Al dominio le imponen condiciones dos cosas: el logaritmo, que exige argumento positivo, y el denominador, que no puede anularse.

$\{\begin{array}{l}\ln (x+2)\Rightarrow x+2>0\Rightarrow x>-2\\ 3x+4\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}\Rightarrow \mathrm{Dom}f(x)=(-2,-{\displaystyle \frac{4}{3}})\cup (-{\displaystyle \frac{4}{3}},+\mathrm{\infty })$

Asíntotas verticales. Las candidatas son los dos puntos que quedan fuera del dominio, $x=-2$ y $x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$; solo se estudian por el lado en el que la función existe.

${\lim }_{x\to -2^{+}}{\displaystyle \frac{\ln (x+2)}{3x+4}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{\infty }}{-2}}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-2\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

En $x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ el numerador no se anula, pues $\ln (-{\displaystyle \frac{4}{3}}+2)=\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}\approx -\mathrm{0,4055}$, mientras que el denominador tiende a cero cambiando de signo.

${\lim }_{x\to -{\frac{4}{3}}^{-}}{\displaystyle \frac{\ln (x+2)}{3x+4}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,4055}}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -{\frac{4}{3}}^{+}}{\displaystyle \frac{\ln (x+2)}{3x+4}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,4055}}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

$\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntota horizontal. El dominio no llega a $-\mathrm{\infty }$, así que solo hay un límite que calcular.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln (x+2)}{3x+4}}=0$

porque el polinomio del denominador es un infinito de orden superior al logaritmo del numerador. Luego $y=0$ es asíntota horizontal, y al haberla no puede haber asíntota oblicua.

El dominio de $f(x)$ es $(-2,-{\displaystyle \frac{4}{3}})\cup (-{\displaystyle \frac{4}{3}},+\mathrm{\infty })$, tiene dos asíntotas verticales, $x=-2$ y $x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$, y una asíntota horizontal, $y=0$.