Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Halle los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función $f(x)=x^2\cdot e^{-x}$. [2 puntos]

La función es producto de un polinomio y una exponencial, así que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en él. Para estudiar la monotonía hallamos la derivada, la igualamos a cero y estudiamos su signo.

$f(x)=x^2{e}^{-x}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{-x}+x^2(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x^2)=x(2-x)e^{-x}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x(2-x)e^{-x}=0$

La exponencial no se anula nunca, de modo que los puntos críticos salen del factor polinómico:

$x(2-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ en cada uno de los tres intervalos que determinan estos valores. Como $e^{-x}>0$ siempre, el signo lo decide la parábola $x(2-x)$, que abre hacia abajo:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=(-1)\cdot 3\cdot e^1=-3e<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=1\cdot 1\cdot e^{-1}={\displaystyle \frac{1}{e}}>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=3\cdot (-1)\cdot e^{-3}=-{\displaystyle \frac{3}{e^3}}<0$



La función es decreciente en $(-\mathrm{\infty },0)$, creciente en $(0,2)$ y decreciente en $(2,+\mathrm{\infty })$.

Como $f$ pasa de decreciente a creciente en $x=0$, ahí hay un mínimo relativo, y como pasa de creciente a decreciente en $x=2$, ahí hay un máximo relativo. Calculamos sus ordenadas:

$f(0)=0^2{e}^0=0$

$f(2)=2^2{e}^{-2}={\displaystyle \frac{4}{e^2}}\approx \mathrm{0,5413}$

La función crece en el intervalo $(0,2)$ y decrece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,+\mathrm{\infty })$; tiene un mínimo relativo en el punto $(0,0)$ y un máximo relativo en el punto $(2,\frac{4}{e^2})$.